ワイ エル シュ トラス 関数

  1. 用語解説　ワイエルシュトラス関数
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  3. 一人 用 テーブル と 椅子
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ワイエルシュトラス関数 1872年にドイツの数学者カール・ワイエルシュトラスによって提示された関数で、連続関数であるが、至るところで微分不可能な関数の一例として有名である。三角関数を無限級数として重ね合わせることにより定義され、関数の形は株価の値動きのように、ブラウン運動に近い形となる。 ブラウザの閉じるを実行するか、右の閉じるボタンをクリックしてください。 ≪閉じる

用語解説　ワイエルシュトラス関数

ガーバー(Gerver)という人が (2A+1)/(2B+1) (ただし A と B は整数)という点で微分可能であること、そしてそれ以外の有理点では微分不可能であることを証明しました。 ここでリーマン関数とワイエルシュトラス関数のグラフを見ておきましょう。 図1 左:ワイエルシュトラス関数、右:リーマン関数 このグラフからもわかるように、ワイエルシュトラス関数はどこも同じようなギザギザなグラフですが、リーマン関数はかなり多様なタイプのギザギザがあるように見えます。 §2. 各点での滑らかさ 滑らかさを測る一つの尺度にリプシッツ連続性(あるいはヘルダー連続性ともいう)があります。その定義をしておきましょう。 簡単な計算で、ワイエルシュトラス関数は -log(b)/log(a)-リプシッツ連続であることがわかります。仮定から、0 < -log(b)/log(a) < 1 となっています。 一方、リーマン関数の場合は、上記の微分可能な点以外では 3/4-リプシッツ連続ではない(すなわちそれ以下の滑らかさしかない)ことが知られています(ハーディ&リトルウッド;[J])。また、微分可能な点では 3/2-リプシッツ連続であることが示されています([J], [M])。 §3. 連続ウェーブレット変換 1980年代半ば、数学に新たな道具が加わりました。ウェーブレット変換です。ウェーブレット変換は画像処理、あるいは一般に信号処理の分野に大きな進展をもたらしました。これについては別の機会に講義をすることにします。ウェーブレット変換は、これまでフーリエ変換ではとらえられなかった各点でのリプシッツ連続性をとらえることができました([J], [M], [JM], [HT])。ウェーブレット変換には連続ウェーブレット変換と離散ウェーブレット変換がありますが、ここでは連続ウェーブレット変換を扱うことにします。 連続ウェーブレット変換についてはたとえば [A] を参照して下さい。(本講義の2として、この辺のことを詳しく解説する予定です。) §4. カスプ特異点と振動特異点 Y. メイエは連続ウェーブレット変換を用いて関数の二つのタイプの特異点の概念を導入しました。一つがカスプ特異点、もう一つが振動特異点です。この定義を述べるために二つの関数空間を導入しておきます。一つは で、これは点 で s-次リプシッツ連続な関数の全体です。もう一つは次のものです。 この二つの関数空間を用いて、各点ヘルダー指数 と弱スケール指数 です。 そしてこの二つの指数がともに有限で一致す場合を カスプ特異点 、また各点ヘルダー指数が弱スケール指数より真に小さい場合(弱スケール指数は∞でもよい)、 振動特異点 といいます。 たとえばワイエルシュトラス関数はすべての点がカスプ特異点になっています([HW])。 §5.

WEB版 現代数学入門講座 Vol. 2 (2016年11月5 日) リーマン関数 ウェーブレット リーマン関数とウェーブレット Ver. 1. 0 新井仁之(東京大学) §1. リーマン関数の歴史 みなさんは連続だけど、どの点でも微分不可能な関数を想像できますか? このような関数が初めて世に出たのは 1872年、ドイツの数学者カール・ワイエルシュトラスにより考案されました。その関数は、 というものです。右辺の各項は無限回微分可能な関数ですが、その無限和をとると連続性は保たれるものの、微分可能性が至るところ崩れてしまうという驚くべき現象が起っているのです。 ところで、ワイエルシュトラスはこの関数を独自に突然思いついたのではなく、その元ネタがあったことをご存じでしょうか?

ワイエルシュトラス関数とは - Weblio辞書

ワイエルシュトラス関数 出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/06/25 14:40 UTC 版) ワイエルシュトラス関数 (ワイエルシュトラスかんすう、 英: Weierstrass function )は、1872年に カール・ワイエルシュトラス により提示された実数関数で、 連続関数 であるにもかかわらず至るところ 微分 不可能な関数である。 病的な関数 ( 英語版 ) の例として取り上げられることがある。 表 話 編 歴 病的な関数 カントール関数(悪魔の階段) 高木関数 ディリクレの関数 ワイエルシュトラス関数 ^ THE HAUSDORFF DIMENSION OF GRAPHS OF WEIERSTRASS FUNCTIONS, PROCEEDINGS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY Volume 126, Number 3, March 1998, Pages 791-800 ^ On the Weierstrass-Mandelbrot Fractal Function, Berry, M. V. ; Lewis, Z. V., Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences, Volume 370, Issue 1743, pp. 459-484 ^ Courbes et Dimension Fractale, C. Tricot, Springer, 1993 ワイエルシュトラス関数のページへのリンク 辞書ショートカット すべての辞書の索引 ワイエルシュトラス関数のページの著作権 Weblio 辞書 情報提供元は 参加元一覧 にて確認できます。

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一人 用 テーブル と 椅子

リーマン関数のカスプ特異点と振動特異点の可視化 メイエ [M] に依れば、リーマン関数 R(x) はカスプ特異点と振動特異点が混在し、たとえば 0 がカスプ特異点、1 が振動特異点になっていて、このことはシミュレーションによって可視化できると書かれています。 このことを実際に確かめてみましょう。以下の計算で使ったのは MATLAB で、ウェーブレットとしてはドブシーのウェーブレット、db4 です。 まずリーマン関数の連続ウェーブレット変換のグラフ(スケログラム)を計算してみます。結果は次のものです。 図2. 上図:リーマン関数(ただし座標軸を見やすいようにスケーリングしてある)。下図:その連続ウェーブレット変換の強度グラフ。 次にカスプ特異点である点 0 の部分を抜き出してみます。 図3. リーマン関数のカスプ特異点(上)と連続ウェーブレット変換したもの(下 )。 見やすいように 3D 表示します。 図4. カスプ特異点(図3下)の 3D 表示。 次に振動特異点である点 1 の部分をぬきだしてみましょう。 図5. リーマン関数の振動特異点(上)と連続ウェーブレット変換したもの(下)。 これも 3D 表示しておきましょう。 図6. 振動特異点(図5下)の 3D 表示 。 §6. まとめと次回講義予告 今回の講義ではリーマン関数の歴史と、各点での滑らかさ、カスプ特異点と振動特異点について述べました。さらに特異点の可視化も行ってみました。 次回以降の何れかの回では、さらにリーマン関数の解析、それからカスプ特異点と振動特異点について掘り下げ、最近の話題に結びつけた話をする予定です。 参考文献 [W] K. Weierstrass, Uber continuirliche Functionen eines reelen Arguments, die fur keinen Werth des letzteren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen, (1872), Weierstrass Math. Werke II, 71--74. [H] G. Hardy, Weierstrass's non-differentiable function, Trans. Amer. Math. Soc. 17 (1916), 301--325.

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数理科学オープンレクチャーズ (企画・制作 新井仁之) 一覧へ 投稿日時: 2020/12/21 新井 仁之 第5回配信です. 本ページに記載の文章、画像、動画の一部あるいは全部の無断転載、複写、複製することを禁じます。 © 2020 Hitoshi Arai. All rights reserved. {{keCount}} 0 コメント

October 28, 2021, 4:27 am